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在一些个人习惯的情况下，守门员不会选择极端的站姿，靠近门柱，

因此，在这个模型中，射手在射击时面临的情况就是选择近角还是远角。

假设2，假设游戏过程是有顺序的，虽然这个时候的顺序可能并不明显。首先，对于未来，他们会在球员投篮前选择自己的位置。对于球员来说，他们会根据观察到的守门员的位置来选择射远角还是近角。

为了量化守门员的位置，我们将球门的长度设置为1，守门员与球门远角的距离为P∈[0,1]。因此可表示为图1。

球员和守门员站立示意图如图2所示。图2中，上方的矩形表示球门，球门中间的虚线是守门员的图像。下面的圆圈表示球员击球的位置。立柱距离设为P，从足球向两侧延伸的箭头线虚线表示射手可以选择两个射门方向，即近角和远角的概率，近角射门的概率为 Q，远射的概率为 1-Q ，设置 3，射门的结果是随机的，即即使球完全按照被踢者的意愿踢出去射手，可能玩不了门将和射手策略选择过程 守门员和射手策略选择过程。 ), (0) p, e? ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

为了量化这个假设，当我们想象当球员选择在角球附近射门时，我们

根据球员的预期，球落入近角球门的概率为α，且αε(0)。当球员选择远角时，按照球员的预期踢球的概率为β。且β 0 (0) 1，P？，假设4，假设3中的α和β实际上是击球的准确度。为了简化问题，投篮的准确性与两个因素有关。一是射手的技术，二是射手的射门位置，就表示出了这两个影响因素，我们考虑概率为α和β建立两个函数表达式，令α=μhα,δ,,β=μhβ,δ，其中，μ表示球员的技术水位图2守门员和射门球员站立选择-q对准确率的影响持平，我们令με (0) 1，另一方面(Hi) Δ，表示射击位置的准确度，影响，i = α, β，其中Δ是位置变量，为了简化，我们还指定Δε (0) 1，可以看出μ的变化会对远角和拍摄产生同等程度的影响。近角拍摄精度，

假设5，在不考虑射击者自身技术水平的技术水平μ的水平的情况下，近角精度大于远角精度，即对于所有Δε(0)

1.有Hα，Δ，Hβ，Δ，这实际上是基于假设4的扩展fake，这个假设也符合实际情况。

假设6，球能否进入球门，除了球能否进门与球员的意愿有关外，还取决于守门员能否对球门做出及时准确的反应，以及守门员的位置选择，将守门员的反应速度作为参数z，阶数zε(0)1，前面定义了守门员的位置，并描述了参数p。

假设7，在一般性的情况下，在分析时，我们会忽略目标范围内没有击中目标的情况，即不会考虑和区分那些高的或偏的。射门，但仅限于在球门范围内射门的情况，

1.2 效益分析

根据上一节的假设和参数设置，我们希望得到射手的收益。注意，因为镜头是零和游戏，所以这里其实可以省略。我们想象“射门准确度”、“守门员站立”、“守门员反应速度”这三个参数，与“射门准确度”正相关，而守门员反应速度“负相关”，因此我们可以得到期望值射击球员选择近角或远端并得分。

π, α, p | μ, z, Δ, = μHHα, Δ, 1-P, 1-z, (1)

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张晓，足球比赛射门比赛分析与统计检验

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π, β, p | μ, z, Δ, = μH β, Δ (p) 1-z, (2) 其中，1-z，表示守门员不能及时反应，

很容易看出这个问题不存在纯策略纳什平衡。原因是守门员选择时，最佳选择是p=0，而射手选择纯策略纳什平衡时，但本问题存在混合策略纳什平衡。我们令射击者选择近角度的概率为Q，选择远角度的概率为1-Q，这样就可以得到表1中双方的收益。

其中，逗号前面的公式表示对射手的守门员和射手的好处

进球球员的期望，逗号后面的正式概率不进球的概率

资表示，门将的期望受益匪浅。注意，该位置的矩阵不是收益矩阵，而是射门球员和守门员的近角概率的概率。 (1-p) (1-() p (1-z), -βp (1-z)-[1-α (1-P) (1-z)], [1-α (1-P) )(1-z)][1-βP(1-z)]、[1-β(1-z)]表示条件。事实上，由于本场比赛守门员的选择是连续的，我们无法通过有益矩阵来展示比赛双方的收益。

首先，对于守门员来说，通过P的随机化，无论射手选择近角还是远角，最终的期望收益都是不可或缺的。

α, 1-p, 1-1,-[1-α, 1-P, 1-ze,] = β, 1-ze,-[1-βP, 1-ze,] (3) 可解得求解 P = α/, β+α , 的平衡值。

其次，对于射手座来说，通过随机化射门的概率Q，守门员选择任意P，最终的期望收益是不可缺少的，即射手座选择的Q需要使接下来的公式不因为改变而改变P.改变，

-Qα, 1-P ,, 1-ze,-, 1-Q, β, 1-ze,+q [1-α, 1-P, 1-ze,]+, 1- βP, 1-(, ] (4)

为了得到Q的平衡值，我们不能用上面得到的P来代替，因为这样无法求出Q的均衡值，而这个均衡值是必需的。式(4)式等价，

-2Qα, 1-P ,, 1-z,+1 = -2,1-Q, β, 1-z,+1

q的平衡值可解，q=β/，β+α，

此后，我们找到了两种比赛，守门员，射手，混合策略，P*，Q*，，即p*=α/，β+α，(5) q*=β/，β+α(6 ）

这种混合策略纳什是唯一的，也是子博弈完美的纳什平衡。可见，由于P*/Q*只与Δ有关，与μ和ze无关。因此，这种混合策略解决方案仅取决于位置变量 Δ 和独立于射手和守门员技术变量的技术变量 μ，

结论1，根据Hα，Δ，Hβ，Δ，，我们在前面的假设5中也有α，β。在这个前提下，我们会发现射手更倾向于选择远角，而守门员则更倾向于选择远角。更倾向于选择选择。近角站立，

这个结论根据混合策略很容易求解。我们只需要分别为β和α分别寻求β和α的部分指导即可。因此，一方面，根据DP*/Dα>0，可以得到DP*/Dβ0，这种情况使得射击者更倾向于选择相反的角度，即α或β越高，但在混合策略，在混合策略中选择近角或远角，概率越低，

结论1其实符合我们平时观察到的情况。接下来，我们希望从数据统计和检验的角度来验证这一结论。

2 经验数据与测试

2.1 统计数据来源

这个经验数据实际上就是足球比赛中的投篮得分数据。由于该数据涉及的数据量很大，所以必须

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统计一个赛季甚至几个赛季甚至几个赛季，甚至全世界所有足球比赛的投篮数据都很难。因此，作者将本文的数据样本全部限制在2010-2011赛季。因为英超上赛季是欧洲五大联赛中进球最多的球队。选择英超可以尽量增加我们的数据容量，让结果更加可靠。

值得注意的是，由于我们的理论结果不需要非常精细的数字结论，因此我们只需比较近角进球的比例和远角进球的比例即可。因此，近角球和远端球的期望概率为： Mα = E [α, 1-P*,, 1-ze, q*] (7) m sly = e [βP* , 1 - z, 1 - Q*,] (8)

推论1，根据结论1，当纳什均衡时，应该可以观察到mβ>mα，即远角的目标应该多于近角的目标。

在解释统计结果之前，先解释一下目标的分类。在统计过程中，作者将进球分为以下几种：（1）近角进球（2）远距离进球（3）​​头球（4）直接进球，包括角球，（5）乌龙（6）罚分，中间近角没有问题，（7）其他，比如折射等。

之所以会这样，是因为我们要讨论的问题涉及到近角度和远角度的选择，而我们假设守门员和球员都有一定的思考时间来做出选择。虽然这个时间很短，但是在这个前提下，。下面，我们需要人为剔除一些与此不符的情况。比如折射球门的角度并不是射门球员的原创想法。抢球时，守门员和射门球员都没有足够的时间考虑站立、角度等问题。

根据上述分类原则，数据是基于一些视频资料。最后的结果大概就是这样。 2010-2011赛季，英超联赛共打入1063个进球。其中，近角进球117个，远角进球242个。此外还有定位球372个、点球81个、乌龙球36个等进球，表2 2010-2011赛季英超进球类型分布

详细的近角得分和远角得分统一圆角进球和远角进球。

结果如表2所示。 1 3 2 20 2 6

2.2 统计检验 2 3 15 21 1 1 1

从统计数据可以看出，远角进球数 3 4 6 22 3 7 的数量大约是近角进球数的两倍，这首先为我们的结论提供了直观的证据 1 为我们的结论提供了直观的证据。结论 1 支持，5 3 4 24 6 5 5

为了从统计检验的角度来考察，我们617 25 4 9需要设置一个统计变量。为此，我们用 7 4 3 26 2 10 机器变量 Xα 表示近角球门的数量。 5 27 4 6 角球进球数，近角进球概率为ρ，则9 3 7 28 5 6 随机变量Xα在α子检验中应服从两项10 3 39 3 4布，且因为我们 因为我们 进球总数是 359 个，这是一个比较大的数量 1 11 2 10 30 3，所以我们可以使用正态分布 12 0 8 31 4 5 来表达这两个分布。 8 32 3 7 以下假设， 14 2 7 33 2 6

H0, = = 1/2, 15 6 11 34 5 6

H1，ρ

这是一个典型的单尾测试假集17 5 4 36 3 5，我们需要计算以下Z值，18 3 37 1 10

Z = xn- (xn+xf) ρxn+xf) ρ (1-ρ) (9) 19 4 9 38 6 11

将数据xα = 117，xβ = 242，ρ = 1/2代入上式得Z = 6.597，查表得到，对应的P值等于3.38×10-11，这也是这只是

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这意味着H0很容易被拒绝。同时，这也意味着近角进球的比例明显小于1/2。这一统计检验结果在一定程度上证明了这一点。我服从我们得到的纳什平衡模型，

当然，以上测试是考察整体的检查。我们可以进一步验证每轮比赛的进球数是否也服从我们的模型。为此，我们令η=117/359，并令Yαii为Yαiii，并令Yαii。 Y βi 表示每轮近角得分数和远角得分数，其中 I = 1 (2) 3, ... (38) 下面的变量 D 将服从牌组分布。

D = =i = 1 éëùûúyαi-η (yhi+yβi] 2 (yα+yβi)+[y βi- (1-η) (yαi+yβi)] 21-η) (yα+yβi) (10) (10 ）

根据表 2 中的数据，您可以计算出 D = 32.67992。同时，利用统计软件，我们可以得到对应的P值，约为0.67177，这意味着“每轮比赛的近角得分和长角得分的分布是可以分布的”，这样的结论就很难了服从相同的纳什平衡解而被拒绝”，或者我们可以认为服从每轮近角得分和远端进球的分布。 整体上，我们验证了统计数据服从纳什平衡解，并且在部分，我们也验证了同样的结论。

3 结论

在这篇文章中，我们用数学模型来模拟足球比赛中球员与守门员之间射门和守门员之间的博弈关系。同时，远角的进球数会明显高于近角的进球数。之后，经过统计检验，这个理论模型的结论得到了很好的验证。

值得注意的是，本文还存在一些问题，例如数学建模本身存在大量的抽象和假设。现实并不像模型所描述的那么简单。统计和统计检验并不完美。另外，最重要的是，球员毕竟是人，他们都有自己的习惯和其他无法表现出来的统计数据。因此，在考虑更多因素的情况下，本文的模型可以进一步深化和广泛扩展。

参考，

[1] Walker M, Wooders J 温布尔登的 MINIMAX PLAY [J] 美国经济评论 (2001) 91(5), 1521-1538

[2]Palacios Huerta I 专业人士玩Minimax[J]经济研究评论（2003）70（2），395-415

足球射门比赛分析及统计检验 张晓

(武汉科技大学管理学院, 武汉 430081)

摘要：本文建立了一个数学模型来模拟射门运动员与守门员之间的博弈关系，并在该模型中找到NAS H平衡解。根据该模型的分析，得出射门运动员的选择倾向守门员也可以获取。从本地和全球来看，这组混合溶液是根据足球比赛情况的数据进行测试的。

关键词：足球；纳什均衡；统计数据